그림을 보시면서 들으시면 이해가 훨씬 잘 갈겁니다.
아킬레스가 거북이를 향해 뛰어갑니다.
아킬레스는 1초에 2미터 거북이는 1초에 1미터를 갑니다.
그리고 아킬레스는 거북이와 10미터가 떨어져있습니다.
5초후에 아킬레스는 10미터를 걸어가고 거북이는 5미터를 걸어갑니다.
그럼 둘사이의 거리는 5미터가 되겠죠.
이런식으로 둘의 거리는 10미터,5미터,2.5미터,1.25미터 이런식으로 계속 반으로 줄어들면서
점점 가까워지게 됩니다.
그럼 이제 증명해봅시다.
뭐 보면 음 그럴싸하네. 라고 생각할수있죠. 그러나 그냥 단순하게 생각하면 10초면 아킬레스는 거북이를 따라잡습니다.
근데 우린 이걸원하는게 아니죠. 등비급수를 이용해 증명해봅시다.
자 아킬레스와 거북이 간의 거리의 수열은 이렇습니다.
10m 5m 2.5m 1.25m ...... 이런 식으로 무한하게 나열이 되네요.
이 수들을 모두 합치면 아킬레스가 걸은 거리가 나옵니다.
그렇다면 우리는 이수의 합을 어떻게 알수있을까요.
고등수학을 배웠다면 알겁니다.
저수의 합은 어떠한 수에 가까워지고 있습니다. 이를 어떠한수에 수렴한다.라고하죠.
이제 그 어떠한 수를 구합시다.
첫째항은 10 등비는 0.5이므로 n번째의 수는
이제 n번째의 수를 구했으니 여기에 시그마만 사용하면 끝이네요.
이말은 아킬레스가 20m를 가서 거북이를 잡는다는 뜻입니다.
아킬레스의 속력은 2m/s 이므로 10초만에 잡네요.
이렇게 언뜻보면 제논의 역설은 무한대로 점점 좁아면서 잡지 못한다고 하지만은 무한대로 나열한 등비급수의 합으로 계산을 하면 나오네요.
물론 야매로 하기는 했지만 하하 재미로 봐주셨기를 바랍니다.
